函数与极限

2022-02-21

常用基础知识

数列

等差数列：$a_1,a_2+d,..,a_n+(n-1)d$
1. 通项公式：$a_n = a_1+(n-1)d$
2. $S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$
等比数列：$a_1,a_1r,a_1r^2,…,a_1r^{n-1}$
1. 通项公式：$a_n=a_1r^{n-1}$
2. $S_n=na_1(r=1), S_n=\frac{a_1(1-r^2)}{1-r}$
3. 若$|r|<1$,则$\sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1}=lim_{x\rightarrow{\infty}}\frac{1-r^n}{1-r}=\frac{1}{1-r}$
常见数列前n项和
1. $\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3…+n=\frac{n(n+1)}{2}$
2. $\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
3. $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{12}+\frac{1}{23}+…+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

三角函数

三角函数基本关系

$\csc{x}=\frac{1}{\sin{x}}$, $\sec{x}=\frac{1}{\cos{x}}$
$\cot{x}=\frac{1}{\tan{x}}$, $\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$, $\cot{x}=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}$
$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$, $1+\tan^2{x}=\sec^2{x}$, $1+\cot^2{x}=\csc^2{x}$

诱导公式：奇变偶不变，符号看象限(原函数)

角度	$\frac{\pi}{2}-\alpha$	$\frac{\pi}{2}+\alpha$	$\pi-\alpha$	$\pi+\alpha$	$\frac{3\pi}{2}-\alpha$	$\frac{3\pi}{2}+\alpha$	$2\pi-\alpha$
$\sin{\theta}$	$\cos{a}$	$\cos{a}$	$\sin{a}$	$-\sin{a}$	$-\cos{a}$	$-\cos{a}$	$-\sin{a}$
$\cos{\theta}$	$\sin{a}$	$-\sin{a}$	$-\cos{a}$	$-\cos{a}$	$-\sin{a}$	$\sin{a}$	$\cos{a}$
$\tan{\theta}$	$\cot{a}$	$-\cot{a}$	$-\tan{a}$	$\tan{a}$	$\cot{a}$	$-\cot{a}$	$-\tan{a}$
$\cot{\theta}$	$\tan{a}$	$-\tan{a}$	$-\cot{a}$	$\cot{a}$	$\tan{a}$	$-\tan{a}$	$-\cot{a}$

倍角公式

$\sin{2a}=2\sin{a}\cos{a}$
$\cos{2a}=\cos^2{a}-\sin^2{a}=2\cos^2{a}-1=1-2\sin^2{a}$
$\tan{2a}=\frac{2\tan{a}}{1-\tan^2{a}}$
$\cot{2a}=\frac{\cot^2{a}-1}{2\cot{a}}$
$\sin{3a}=-4\sin^3{a}+3\sin{a}$
$\cos{3a}=4\cos^3{a}-3\cos{a}$

半角公式

$\sin^2{\frac{a}{2}}=\frac{1}{2}(1-\cos{a})$
$\cos^2{\frac{a}{2}}=\frac{1}{2}(1+\cos{a}$)

和差公式

$\sin(a\pm{b})=\sin{a}\cos{b}\pm \cos{a}\sin{b}$
$\cos({a\pm b})=\cos{a}\cos{b}\mp \sin{a}\sin{b}$
$\tan({a\pm b})=\frac{\tan{a}\pm \tan{b}}{1 \mp \tan{a}\tan{b}}$, $\tan{(\frac{\pi}{4}-x)}=\frac{1-\tan{x}}{1+\tan{x}}$

和差化积

$\sin{a}+\sin{b}=2\sin{\frac{a+b}{2}}\cos{\frac{a-b}{2}}$
$\sin{a}-\sin{b}=2\sin{\frac{a-b}{2}}\cos{\frac{a+b}{2}}$
$\cos{a}+\cos{b}=2\cos{\frac{a+b}{2}}\cos{\frac{a-b}{2}}$
$\cos{a}-\cos{b}=-2\sin{\frac{a+b}{2}}\sin{\frac{a-b}{2}}$

积化和差

$\sin{a}\cos{a}=\frac{1}{2}[\sin{(a+b)}+\sin{(a-b)}]$
$\cos{a}\sin{a}=\frac{1}{2}[\sin{(a+b)}-\sin{(a-b)}]$
$\cos{a}\cos{a}=\frac{1}{2}[\cos{(a+b)}+\cos{(a-b)}]$
$\sin{a}\sin{a}=\frac{1}{2}[\cos{(a-b)}-\cos{(a+b)}]$

指数运算

$a^\alpha ·a^\beta=a^{\alpha+\beta}$
$\frac{a^\alpha}{a^\beta}=a^{\alpha-\beta}$
$(a^\alpha)^{\beta}=a^{\alpha\beta}$
$(ab)^\alpha=a^{\alpha}·b^{\alpha}$
$(\frac{a}{b})^\alpha=\frac{a^\alpha}{b^\alpha}$

对数运算法则

$log_a(MN)=log_aM+log_aN$
$log_a(\frac{M}{N})=log_aM-log_aN$
$log_aM^N=Nlog_aM$

方便求导

$\ln{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\ln{x}$
$\ln{\frac{1}{x}}=-\ln{x}$
$\ln{(1+\frac{1}{x})}=\ln{\frac{x+1}{x}}=\ln{(x+1)}-\ln{x}$

一元二次方程基础

形式：$ax^2+bx+c=0,(a\neq0)$
根的公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
韦达定理：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1x_2=\frac{c}{a}$
判别式：$\Delta=b^2-4ac$：$\Delta>0$两个不等实根；$\Delta=0$一个实根；$\Delta<0$两个共轭复根
抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$

因式分解

$(a+b)^2=a^b+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
二项式定理：$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$
- $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$，就是杨辉三角

阶乘与双阶乘

$n!=1·2·3·…·n$
- 规定$0!=1$
$(2n)!!=2·4·6·…·(2n)=2^n·n!$
$(2n-1)!!=1·3·5·…·(2n-1)$
华里士公式（其中就包含双阶乘
- $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n{x}dx=\frac{n}{n-1}\frac{n-2}{n-3}…1,(n为奇数)$
- $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n{x}dx=\frac{n}{n-1}\frac{n-2}{n-3}…\frac{1}{2}\frac{\pi}{2},(n为偶数)$
- $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n{x}dx=\frac{n}{n-1}\frac{n-2}{n-3}…1,(n为奇数)$
- $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n{x}dx=\frac{n}{n-1}\frac{n-2}{n-3}…\frac{1}{2}\frac{\pi}{2},(n为偶数)$

常用不等式

$|a\pm b|\le |a|+|b|$
- $|a_1\pm a_2\pm a_3 \pm …\pm a_n|\le |a_1|+|a_2|+…|a_n|$
- $|\int_a^bf(x)dx|\le \int_a^b|f(x)|dx$
$|a|-|b|\le |a-b|$
$||a|-|b||\le{|a-b|}$
$\sqrt{ab}\le{\frac{a+b}{2}\le{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}}$
$|ab|\le{\frac{a^2+b^2}{2}}$
$\sin{x}<x<\tan{x}, 0<x<\frac{\pi}{2}$
$\arctan{x}\le{x}\le{\arcsin{x}},0\le{x}\le{1}$
$\sin{x}\le{x},\forall{x}$
- $X_{n+1}=\sin{X_n}$，由$X_{n+1}=\sin{X_n}\le{X_n}$，$X_n$单调减少
$e^x\ge{x+1},\forall{x}$
- $X_{n+1}=e^{X_n}-1$，由$X_{n+1}=e^{X_n}-1\ge{X_n}$，$X_n$单调增加
$x-1\ge{\ln{x}},x>0$
- $X_{n+1}=\ln{X_n}+1$，由$X_{n+1}=\ln{X_n}+1\le{X_n}$，$X_n$单调减少
$\frac{1}{1+x}<\ln{(1+\frac{1}{x})}<\frac{1}{x}$
- 拉格朗日中值定理可以证明

#

反双曲正弦

1.1 函数

一些定义

概念

x，y为两个变量，x ∈ D，如果 x ∈ D，总存在唯一确定的y与x对应，称y为x的函数，记作 y = f(x)

D 称为定义域

R = {y| y = f(x), x ∈ D} 称为函数的值域

∀ 表示任意
∃ 表示存在

特殊的函数

符号函数

sgn x = -1, x < 0; 0, x = 0; 1, x > 0

迪利克雷函数

D(x) = 1, x ∈ Q （有理数）; 0, x ∈ R\Q

取整函数向下取整

y = [x]

反函数

若函数 y=f(x) 严格单调，记 x=g(y) 为f的反函数

严格单调函数必有反函数（积分换元法需要使用）；有反函数的函数不一定单调
$y=f(x)$和$x=f^{-1}(y)$在同一坐标系中的图像完全重合
$y=f(x)$和$y=f^{-1}(x)$在同一坐标系中的图像关于$y=x$对称，这是$x$和$y$互换的结果

复合函数

函数$y=f(u)$定义域为$D_f$，函数$u=g(x)$定义域为$D_g$且$g(D_g)\in{D_f}$，则$y=f[g(x)],x\in{D_g}$确定的函数称为函数$u=g(x)$和$y=f(u)$构成的复合函数

基本初等函数

幂指对三角反三角

x^a
a^x (a>0 && a!=1)
log(a, x)
sinx cosx tanx cotx secx cscx
arcsinx arccosx arctanx arccotx

初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的函数

参数方程

摆线
1. 可看作自行车轮子一点滚动形成的轨迹
2. $x=r(t-\sin{t})$, $y=r(1-\cos{t})$

星形线（内摆线
1. 小圆在大圆内部做纯滚动，大圆半径为小圆半径的4倍
2. $x=r\cos^3{t}$, $y=r\sin^3{t}$
3. $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=r^{\frac{2}{3}}$

初等函数的性质

奇偶性

D 首先必须关于原点对称！否则就免谈

$f(-x) = f(x)$ 偶函数，函数图像关于$y$轴对称
$f(-x) = -f(x$) 奇函数，函数图像关于原点对称

$F_1(x)=f(x)-f(-x)$必为奇函数
1. 双曲正弦$\sh{x} = \frac{e^x-x^{-x}}{2}$为奇函数
2. 其反函数为反双曲正弦$arsinh(x)=\ln{(x+\sqrt{x^2+1})}$
3. $(\ln{(x+\sqrt{x^2+1})})’=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
4. $\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}dx=\ln{(x+\sqrt{x^2+1})}+C$
$F_2(x)=f(x)+f(-x)$必为偶函数
1. 双曲正弦$\ch{x} = \frac{e^x+x^{-x}}{2}$为偶函数
奇函数在原点有定义时，$f(0)=0$
偶函数在原点可导时，$f’(0)=0$
函数关于$x=T$对称的充要条件：$f(x)=f(2T-x)$或者$f(x+T)=f(x-T)$

单调性

y = f(x) x ∈ D

$\forall x_1, x_2 \in D$ 且 $x_1 < x_2$，有 $f(x_1) < f(x_2)$，称$f(x)$在$D$上严格单调递增
∀ x1, x2 ∈ D 且 x1 < x2，有 f(x1) > f(x2)，称f(x)在D上严格单调递减

后期会经常使用求导来讨论函数在某个区间上的单调性
但是定义法也不能忘记，比如离散的数列就不能求导

有界性

$y=f(x),x\in{D}$

∃ M>0，对于 ∀ x ∈ D，有 |f(x)| <= M，称f(x)在D上有界
∃ M1，对于 ∀ x ∈ D，f(x) >= M1，称函数有下界 M1
∃ M2，对于 ∀ x ∈ D，f(x) <= M2，称函数有上界 M2

函数有界的充分必要条件是函数既有上界又有下界

讨论函数有界与否必须首先指明区间$I\in{D}$

周期性

y = f(x) x ∈ D

如果 ∃ T>0，使得 ∀ x ∈ D (x+T ∈ D)，有 f(x+T) = f(x)，称f(x)是具有周期性

对于周期函数$f(x)$，其在一个周期内的积分值与积分起点无关
1. $\int_0^Tf(x)dx=\int_a^{a+T}f(x)d(x)$
2. 可以得知：奇函数在一个周期内的积分值为0

重要结论

若$f(x)$为可导的偶函数，则$f’(x)$为奇函数
若$f(x)$为可导的奇函数，则$f’(x)$为偶函数
若$f(x)$是可导的周期函数，则$f’(x)$也是以$T$为周期的周期函数
连续的奇函数的一切原函数都是偶函数
连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数（$f(0)=0$
若连续函数$f(x)$以$T$为周期且$\int_0^Tf(x)dx=0$，则$f(x)$的一切原函数也周期$T$
若$f(x)$在$(a,b)$内可导且$f’(x)$有界，则$f(x)$在$(a,b)$有界（拉格朗日证明

1.2 数列极限

定义

$\forall\epsilon>0,\exist{N}>0,n>N$时，恒有$|x_n-a|<\epsilon$，则$\lim_{n\rightarrow{\infty}}x_n=a$

写距离 $|x_n-a|<\epsilon$
反解出$n$的范围$n>g(\epsilon)$
取$N=[g(\epsilon)]+1$

$\lim_{n\rightarrow{\infty}a_n=0}$和$\lim_{n\rightarrow{\infty}｜a_n｜=0}$互为充要条件

性质

唯一性：数列若有极限，该极限唯一

1 2	证明数列极限唯一性取 ℇ = (A - B) / 2

有界性：如果数列有极限，那么数列有界

证明数列极限有界性
取 ℇ = 1
lim(n->∞) an = A, 所以 ∃ N > 0, n > N 时 |an - A| < 1
因为 | |an| - |A| | <= |an - A|
所以 n > N 时，||an| - |A| | < 1

|an| < 1 + |A|  这个式子仅当 n > N 成立
因此若想对全体数列项成立，取 M = max{|a1|,|a2|....|aN|, 1+|A|}
∀ n，有|an| <= M 证毕

有界的数列不一定有极限

1	例如 an = 1 + (-1)^n

保号性：如果 lim(n->∞) an = A，如果A>0（或A<0），则 ∃ n> 0，n > N 时，an>0（或 an<0）

1
2
3

证明数列极限保号性
假设 A>0，取 ℇ = A/2
假设 A<0，取 ℇ = -A/2

如果{$a_n$}收敛，则其任何子列{$a_{n_k}$都收敛，且极限相等}

1.3 函数极限

定义

x->a
∀ ℇ>0，∃ 𝞭>0，当 0<|x-a|<𝞭，|f(x)-A|<ℇ，称f(x)当x->a时的极限为A
记作 lim(x->a) f(x) = A

x->a的过程中，x不取到a，因此极限是否存在与f(x)在a点有无定义没有关系
x->a包含 x->a- 和 x->a+ 包含左极限和右极限
函数在a点极限存在的充要条件是：在a点的左极限右极限存在且相等 f(a+0) = f(a-0)

考点

用定义证明函数极限
给分段函数，根据左右极限求一些系数

x->+∞
∀ ℇ>0, ∃ X>0, x>X时, |f(x)-A| < ℇ 称lim(x->+∞) f(x) = A
x->-∞
∀ ℇ>0, ∃ X>0, x<-X时, |f(x)-A| < ℇ 称lim(x->-∞) f(x) = A
x->∞
∀ ℇ>0, ∃ X>0, |x|>X时, |f(x)-A| < ℇ 称lim(x->∞) f(x) = A

性质

唯一性：函数有极限，极限必定唯一

1
2
3

证明唯一性：
反证：取 ℇ = (A-B)/2 > 0
可以根据定义，发现矛盾

$\lim_{x\rightarrow{+\infty}}e^x=+\infty, \lim_{x\rightarrow{-\infty}}e^x=0$, 故$\lim_{x\rightarrow{\infty}}e^x$不存在
$\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{\sin{x}}{|x|}$不存在
$\lim_{x\rightarrow{0}}\arctan{x}$不存在
$\lim_{x\rightarrow{0}}[x]$不存在

局部有界性：lim(x->a) f(x) = A, 则 ∃ 𝞭>0，M>0，0<|x-a|<𝞭 时|f(x)|<=M

1
2
3

证明唯一性：
反证：取 ℇ = 1
可以根据定义证明出

保号性：lim(x->a) f(x) = A，A>0（或者A<0），则 ∃ 𝞭>0，当 0<|x-a|<𝞭时，f(x)>0（或者f(x)<0）

取 ℇ = A/2

1.4 无穷小和无穷大

无穷小

a(x)为x的函数，如果lim(x->x0) a(x) = 0，则称a(x)当x->x0时为无穷小

0是无穷小，但无穷小不一定是0
对于a(x)!=0，a(x)是否为无穷小与自变量的趋向有关

等价定义：∀ ℇ>0, ∃ 𝞭>0,当 0<|x-x0|<𝞭时，|a(x)-0|<ℇ 即 lim(x->x0) a(x) = 0

一些性质：

两个无穷小的和差仍为无穷小
常数与无穷小之积仍为无穷小
多个无穷小之积仍为无穷小
lim(x->x0) f(x) = A 的充分必要条件是：f(x)=A+a, a->0 (x->x0)

无穷大

∀ M>0, ∃ 𝞭>0, 当0<|x-x0|<𝞭, 有|f(x)|>M, 称f(x)当x->x0时为无穷大，记作lim(x->x0) f(x) = ∞
∀ M>0, ∃ X>0, 当x>|X|, 有|f(x)|>M, 称f(x)当x->∞时为无穷大，记作lim(x->∞) f(x) = ∞

无穷小和无穷大的关系

lim(x->x0) f(x) = 0 ==> lim(x->x0) 1/f(x) = ∞

1.5 极限的运算法则

预备知识：初等函数无穷小

四则运算法则

条件：x->x0, f(x0)->A, g(x)->B

x->x0时，f(x)+g(x)->A+B, f(x)-g(x)->A-B

1	f(x) = A+a, g(x) = B+b 易证明

k为常数，lim(x->x0) kf(x) = kA

lim(x->x0) f(x)g(x) = AB

如果lim(x->x0) g(x) != 0，则lim(x->x0) f(x)/g(x) = A/B

多项式除法的极限，同除以最高次项（或最低次项

复合运算极限法则

嵌套

1.6 极限存在准则包括两个重要极限

I.夹逼定理

数列的情形

an <= bn <= cn
lim(n->∞) an = lim(n->∞) cn = A
那么，lim(n->∞) bn = A

函数的情形

f(x) <= g(x) <= h(x)
lim f(x) = lim h(x) = A
那么，lim g(x) = A

如果$\phi{(x)}\le{f(x)}\le{g(x)}$且$\lim[g(x)-\phi(x)]=0$，$\lim{f(x)}$也不一定存在

II.单调有界数列必定有极限

{an} 有界的充要条件是 {an} 有上下界
如果 {an} 单调递增，那么一定有下界。极限是否存在取决于是否有上界
如果 {an} 单调递减，那么一定有上界。极限是否存在取决于是否有下界

两个重要极限

lim(x->0) six/x = 1
推广：lim(∆->0) (sin∆)/∆ = 1

lim(n->∞) (1+1/n)^n = e
推广 lim(n->0) (1+n)^(1/n) = e
lime(∆->0) (1+1/∆)^∆ = e

(1^∞) 类型的极限，一般都要往第二个重要极限凑

1.7 无穷小的比较

有界函数乘以无穷小仍为无穷小

设 a->0 b->0

lim (a/b) = 0, 称a为b的高阶无穷小，记作 a=o(b)
lim (a/b) = ∞, 称a为b的低阶无穷小
lim (a/b) = k, k为常数，称a和b为同阶无穷小，如果 k=1, 那么a和b为等价无穷小 a~b
lim (a/b^k) = K, 称a为b的k阶无穷小

等价无穷小的性质

a->0, b->0, 则 a~b 的充分必要条件是 b = a + o(a)（高阶）

a~a1, b->b1, lim(b1/a1) = A, 那么 lim(b/a) = A。这意味着求极限可以等价无穷小替换

$o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^l), l=\min(m,n)$
$o(x^m)o(x^n)=o(x^{m+n})$
$o(x^m)=o(kx^m)=ko(x^m),k=C$

常见等价无穷小

以下趋势均为 x->0

x ~ sin(x)
x ~ tan(x)
x ~ arcsin(x)
x ~ arctan(x)
x ~ ln(1+x)
x ~ e^x-1
$a^x-1$~$x\ln{x}$
1-cosx ~ x^2/2
(1+x)^a-1 ~ ax

1.8 函数的连续性和间断点

f(x)在某一点连续连续

若$\lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)=f(x_0)$

f(a-0)=f(a)称f(x)在x=a左连续；f(a+0)=f(a)右连续
f(x)在x=a连续的充要条件是f(x)在x=a左连续，右连续

f(x)在闭区间连续

若f(x)在[a,b]上有定义，f(x)在(a,b)内处处连续，f(a)=f(a+0),f(b)=f(b-0)，那么称f(x)在[a,b]上连续
记作 f(x) ∈ C[a,b]

间断点及分类

在点$x_0$的某去心领域内有定义的前提下才讨论间断点
lim(x->a) f(x) != f(a)，称f(a)在x=a间断

间断点的分类：

第一类间断点：f(a-0)和f(a+0)都存在
1. 可去间断点：f(a-0)=f(a+0)
2. 跳跃间断点：f(a-0)!=f(a+0)
第二类间断点：f(a-0)和f(a+0)至少一个不存在
1. 无穷间断点：$\lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)=\infty$
2. 振荡间断点
3. 其他

1.9 连续函数的运算和初等函数连续性

连续函数的运算

四则运算

f(x) g(x) 在x=x0连续，则f(x)+g(x)和f(x)-g(x)和f(x)g(x)在x=x0连续
若g(x0)!=0, 则f(x)/g(x)在x=x0连续

复合运算

复合函数的连续性可以得到保持

初等函数连续性

复习一下，基本初等函数：幂指对三角反三角

初等函数：常数和基本初等函数经过有限次复合和四则运算得到的函数

基本初等函数在其定义域内连续
初等函数在其定义域内连续

1.10 闭区间上连续函数的性质

最值定理：f(x)∈C[a,b],则f(x)在[a,b]取得到最小值m和最大值M
有界定理：若f(x)∈C[a,b]，则∃k>0，使∀x∈[a,b]，有|f(x)|<=k
零点定理：若f(x)∈C[a,b]，f(a)·f(b)<0, 则必定存在x0∈[a,b],f(x0)=0
介值定理：若f(x)∈C[a,b]，则∀n∈[m,M], 则∃𝝽∈[a,b]使得f(𝝽)=n
即介于m和M的任意值都可以被取到

TIPS：

函数闭区间连续，证明开区间问题，首选零点定理
函数闭区间连续，证明闭区间问题 / 函数值之和，选介值定理

补充

海涅定理

设f(x)在$\hat{U}(x_0,\delta)$有定义，则
$\lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)=A$存在的充要条件是
对任何$\hat{U}(x_0,\delta)$内，以$x_0$为极限的数列{$x_n$}，极限$\lim_{n\rightarrow{\infty}}f(x_n)=A$存在

从右往左推：取两个不同的数列{$x_n$}，否定函数极限的存在
从左到右推：$\lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)=A => \lim_{n\rightarrow{\infty}}f(x_n)=A$

七种未定式极限

$\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0·\infty$
$\infty - \infty$
$\infty^0, 0^0, 1^\infty$

遇到根号，有理化
等价无穷小
泰勒展开
取整函数相关的，用$x-1<[x]\le{x}$，夹逼定理
$\infty-\infty$，有分母则通分，没有则创造分母（换元$x=\frac{1}{t}$
幂指函数化为$e^{v\ln{u}}$
$1^{\infty}$：$\lim{u^v}=e^{\lim{v\ln{u}}}=e^{\lim{v(u-1)}}$
海涅定理