微分中值定理与导数的应用

2022-02-27

常用泰勒展开

根据和$y=x$的关系，反函数的关系记忆以下四个

$\sin{x}=x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)$
$\arcsin{x}=x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3)$
$\tan{x}=x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)$
$\arctan{x}=x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)$

由$(\sin{x})’=\cos{x}$

$\cos{x}=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4)$

正负相间

$\ln{(1+x)}=\frac{x}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

全为正

$e^x=\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+o(x^2)$

3.1 微分中值定理

引理

极值点
1. 设 $y=f(x), x\in D, x_0\in D$
2. ∃ $\delta>0$, $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$f(x)>f(x_0)$，则称$f(x_0)$ 为极小值点
3. ∃ $\delta>0$, $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$f(x)<f(x_0)$，则称$f(x_0)$ 为极大值点
导数的四种情况

$f'(a)\left\{ \begin{aligned} >0 \text{，递增}\\ <0 \text{，递减}\\ =0 \text{，可能是极值点}\\ 不存在 \text{，可能是极值} \end{aligned} \right.$

涉及函数的中值定理

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则

定理一：有界与最值定理
1. $m\leq{f(x)}\leq{M}$，其中$m、n$分别为$f(x)$在$[a,b]$上的最小值与最大值
定理二：介值定理
1. $m\leq{\mu}\leq{M}$时，存在$\zeta\in{[a,b]}$，使得$f(\zeta)=\mu$
定理三：平均值定理（离散的
1. $a<x_1<x_2<…<x_n<b$时，$[x_1,x_n]$内至少存在一点$\zeta$使得$f(\zeta)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n)}{n}$
定理四：零点定理
1. 当$f(a)f(b)<0$时，存在$\zeta\in(a,b)$，使得$f(\zeta)=0$
定理十：积分中值定理（连续的平均值定理
1. 存在$\zeta\in{[a,b]}$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(\zeta)(b-a)$

如何证明积分中值定理中，$\zeta\in{(a,b)}$？（真题考过，可直接使用
设$F(x)=\int_a^xf(t)dt$
由拉格朗日中值定理 $F(b)-F(a)=F’(\zeta)(b-a), \zeta\in(a,b)$
证毕

涉及微分的中值定理

费马定理

设$f(x)$在$x_0$处可导并取得极值，则$f’(x_0)=0$

证明：

不妨设$x=x_0$取得极大值

$f’_-(x_0)=\lim_{x\rightarrow{x_0-}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq{0}$

$f’_+(x_0)=\lim_{x\rightarrow{x_0+}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq{0}$

可导需要左右导数存在且相等$f’_-(x_0)=f’_+(x_0)=0$

达布定理（导数零点定理

设$f(x)$在$[a,b]$上可导，证明$f_+’(a)f_-‘(b)<0$时，存在$\zeta\in{(a,b)}$使得$f’(\zeta)=0$

证明：

不妨设$f_+’(a)<0, f_-‘(b)>0$

则$f’_+(a)=\lim_{x\rightarrow{a^+}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<0$, 在$a$右领域内，$f(a)<f(x)$

$f’_-(b)=\lim_{x\rightarrow{b^-}}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}<0$, 在$a$左领域内，$f(b)<f(x)$

故极大值在区间内部，由费马定理，证毕

和零点定理区分开：零点定理要求连续，达布定理不要求连续

罗尔定理

$f(x)\in C[a,b]$
$f(x)$ 在 $(a,b)$ 可导
$f(a)=f(b)$

那么，存在 $c\in (a,b), f’(c)=0$

推广的罗尔定理

设$f(x)$在$(a,b)$内可导，$\lim_{x\rightarrow{a^+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow{b^-}}f(x)=A$，则$(a,b)$内至少存在一点$\zeta$，使得$f’(\zeta)=0$
设$f(x)$在$(a,b)$内可导，$\lim_{x\rightarrow{a^+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow{b^-}}f(x)=\pm\infty$，则$(a,b)$内至少存在一点$\zeta$，使得$f’(\zeta)=0$
设$f(x)$在$(a,+\infty)$内可导，$\lim_{x\rightarrow{a^+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow{+\infty}}f(x)=A$，则$(a,+\infty)$内至少存在一点$\zeta$，使得$f’(\zeta)=0$
设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内可导，$\lim_{x\rightarrow{-\infty}}f(x)=\lim_{x\rightarrow{+\infty}}f(x)=\pm\infty$，则$(-\infty,+\infty)$内至少存在一点$\zeta$，使得$f’(\zeta)=0$

罗尔定理的使用

常用乘积求导公式$(uv)’=u’v+uv’$来构造辅助函数
1. $\phi{(x)}=x$，见到$f’(x)+f(x)$，构造$F(x)=f(x)e^x$
2. $\phi{(x)}=-x$，见到$f’(x)-f(x)$，构造$F(x)=f(x)e^{-x}$
3. $\phi{(x)}=x$，见到$f’(x)+kf(x)$，构造$F(x)=f(x)e^{kx}$
三个点相等，可以用三次罗尔定理，得出二阶导数为0

拉格朗日中值定理

$f(x)\in C[a,b]$
$f(x)$ 在 $(a,b)$ 可导

则，存在 $c\in (a,b), f’(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

可以借助罗尔定理证明得到

罗尔定理是$Lagrange$定理的特殊情况
等价形式：$f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) <=> f(b)-f(a)=f’[a+(b-a)\theta]*(b-a), 0<\theta<1$
如果 $f’(x)=0$ 恒成立，那么 $f(x)=C$

tips:

三个点，考虑用两次拉格朗日中值定理
$f(b)-f(a)$ 的形式，考虑拉格朗日
$f’$和$f$的关系，考虑拉格朗日

柯西中值定理

$f(x), g(x)\in C[a,b]$
$f(x), g(x)$ 在 $(a,b)$ 可导
$g(x)\neq 0, (a<x<b)$

则，存在$c \in (a,b)$，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f’(c)}{g’(c)}$

若 $g(x)=x$，则变为拉格朗日

3.2 洛必达法则

$\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 极限

$\frac{0}{0}$

条件

$f(x)、F(x)$ 在 $x=a$ 的去心领域内可导，且 $F’(x)\neq 0$
$\lim_{x\rightarrow{a}}=0, lim_{x\rightarrow{a}}F(x)=0$

则$lim_{x\rightarrow{a}}\frac{f(x)}{F(x)} = lim_{x\rightarrow{a}}\frac{f’(x)}{F’(x)}$

$\frac{\infty}{\infty}$

条件

$f(x)、F(x)$ 在 $x=a$ 的去心领域内可导，且 $F’(x)\neq 0$
$\lim_{x\rightarrow{a}}=\infty$, $lim_{x\rightarrow{a}}F(x)=\infty$

则$lim_{x\rightarrow{a}}\frac{f(x)}{F(x)} = lim_{x\rightarrow{a}}\frac{f’(x)}{F’(x)}$

3.3 泰勒公式

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 领域内 $n+1$ 阶可导则，$f(x)=P_n(x)+R_n(x)$
其中 $P_n(x) = f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\frac{f’’(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+…+\frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n$
$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$, $\zeta$ 介于$x_0$ 和 $x$ 之间

特别的，在 $x_0=0$ 展开称麦克劳林公式

$P_n(x) = f(0)+f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2!}x^2+…+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

余项的形式

拉格朗日余项：$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
皮亚诺余项：$R_n(x) = o((x-x_0)^n)$

常用

$f(x) = e^x$

$f(x) = e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+….+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

$f(x) = \sin{x}$

$f(x) = \sin{x} = x-\frac{x}{3!}+\frac{x^3}{5!}-…+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+o(x^{2n+1})$

$f(x) = \cos{x}$

$f(x) = \sin{x} = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-…+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}+o((x^{2n}))$

$f(x) = \frac{1}{1-x}$

$f(x) = \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+…+x^n+o(x^n)$

$f(x) = \frac{1}{1+x}$

$f(x) = \frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+…(-1)^nx^n+o(x^n)$

$f(x)=\ln{(1+x)}$

$f(x)=\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+o(x^n)$

$f(x)=(1+x)^a$

$f(x)=(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+…+\frac{a(a-1)…(a-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$

计算

$\frac{A}{B}$型极限，展开到同阶
$A-B$型极限，展开到系数不相等的$x$的最低次幂为止

3.4 函数单调性与曲线凹凸性

函数单调性

定义

对于函数$y=f(x), x\in{D}$，如果 $\forall x_1, x_2\in{D}$且 $x_1<x_2$, 有$f(x_1)<f(x_2)$ ,则称$f(x)$ 在 $D$ 上单调递增
对于函数$y=f(x), x\in{D}$ ，如果 $\forall x_1, x_2\in{D}$且 $x_1f(x_2)$，则称$f(x)$ 在 $D$ 上单调递减

判断

$y=f(x)\in{C[a, b]},(a,b)$内可导

如果$f’(x)>0, (a<x<b)$ ，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递增
如果$f’(x)<0, (a<x<b)$ ，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递减

应用

证不等式：转换为函数

曲线凹凸性

定义

对于 $y=f(x), x\in{D}$

若 $\forall{x_1, x_2} \in{D}$ 且 $x_1\neq{x_2}$ 有， $f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ ,称 $f(x)$ 在 $D$ 内为凹函数
若 $\forall{x_1, x_2} \in{D}$ 且 $x_1\neq{x_2}$ 有， $f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ ,称 $f(x)$ 在 $D$ 内为凸函数

拐点：连续曲线的凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点

判别方法

引理

若 $f’’(x)>0$ ，则当 $x\neq{x_0}$, 有 $f(x)>f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)$

若 $f’’(x)<0$ ，则当 $x\neq{x_0}$, 有 $f(x)<f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)$

$f(x)\in{C[a,b]，(a,b)}$内二阶可导，则

若 $f’’(x)>0, (a<x<b)$，则 $y=f(x)$ 图像在 $[a,b]$ 上是凹的
若 $f’’(x)<0, (a<x<b)$，则 $y=f(x)$ 图像在 $[a,b]$ 上是凸的

3.5 极值和最值

极值点不一定是最值点；最值点也不一定是极值点
如果$f(x)$在区间$I$上有最值点$x_0$，并且$x_0$不是区间$I$的端点而是内部的点，那么$x_0$必为$f(x)$的一个极值点

极值：极大值和极小值(要求双侧定义)

对于函数 $y=f(x),x\in{D}, x_0\in{D}$

如果 $\exist {\delta}>0, 0<|x-x_0|<\delta$ 时,有 $f(x_0)>f(x)$, 称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个极大值点, $f(x_0)$ 为极大值
如果 $\exist {\delta}>0, 0<|x-x_0|<\delta$ 时,有 $f(x_0)<f(x)$, 称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个极小值点, $f(x_0)$ 为极小值

$x=a$ 为极值点且 $f(x)$ 可导，可以推出 $f’(a)=0$, 反之不行

判别方法

费马定理
设$f(x)$在$x=x_0$可导，且在$x_0$取得极值，那么必有$f’(x_0)=0$

法1（第一充分条件

如果在$x_0$去心领域内

$\left\{ \begin{aligned} x<x_0时，f'(x)<0 \\ x>x_0时，f'(x)>0 \end{aligned} \right.$

则$x=x_0$为极小点

如果

$\left\{ \begin{aligned} x<x_0时，f'(x)>0 \\ x>x_0时，f'(x)<0 \end{aligned} \right.$

则$x=x_0$为极大点

间断点也有可能是极值点

法二（第二充分条件

设$f’(x_0) = 0$，如果

$f’’(x)>0$，$x_0$为极小点
$f’’(x)<0$，$x_0$为极大点

证明
$f’’(x_0)>0$，则$f’’(x_0)=lim_{x\rightarrow{x_0}}\frac{f’(x)}{x-x_0}>0$
由于函数极限保号性
$\exist\delta>0, 0<|x-x_0|<\delta$时，$\frac{f’(x)}{x-x_0}>0$
分类讨论可以转化为法1

弊端：不能讨论$f’’(x_0)=0$的情况

第三充分条件

若$f(x)$在$x_0$处$n$阶可导，并且$f^{(m)}(x_0)=0,(m=1,2,…,n-1)$，$f^{(n)}(x_0)=0,(n\geq 2)$，则

$n$为偶数并且$f^{(n)}(x_0)<0$时，在$x_0$取得极大值
$n$为偶数并且$f^{(n)}(x_0)>0$时，在$x_0$取得极小值

最值（最大值和最小值

求闭区间$[a,b]$上连续函数的最值
1. 求出驻点、不可导点位置的函数值
2. 求出区间端点$f(a)$,$f(b)$
3. 比较上述所有函数值，即可得到
求开区间$(a,b)$上连续函数的最值或取值范围
1. 求出区间内驻点、不可导点位置的函数值
2. 求出区间端点位置的单侧极限
3. 比较上述值，得到最值或取值范围

$f(x)\in{C[a,b]}$，找到$f’(x)=0或不存在$的所有点（驻点和不可导点），$x_1,x_2,…,x_n$

最小值为$\min{f(a), f(b), f(x_1), …, f(x_n)}$

最大值为$\max{f(a), f(b), f(x_1), …, f(x_n)}$

例题：证明$x\in{[0,1]}$时，$\frac{1}{2^{p-1}}\leq{x^p+(1-x)^p}\leq{1}$
中间设为函数，求其最大最小值

应用题：构造出目标函数，求解最大值 / 最小值

3.6 函数图像描绘

渐近线

先找函数无定义点，找铅垂渐近线
找水平渐近线
找斜渐近线

水平渐近线

曲线$L:y=f(x)$,若$lim_{x\rightarrow{\infty}}f(x)=A$，称$f(x)$有水平渐近线$y=A$

铅直渐近线

曲线$L:y=f(x)$,若$lim_{x\rightarrow{a}}f(x)={\infty}$，称$f(x)$有铅直渐近线$x=A$

铅直渐近线只会出现在函数的间断点处（无定义点、定义区间的端点、分段函数分段点

斜渐近线

曲线$L:y=f(x)$,若$lim_{x\rightarrow{\infty}}\frac{f(x)}{x}=A(A\neq0,\infty), lim_{x\rightarrow{\infty}}(f(x)-Ax)=B$，称$f(x)$有斜渐近线$y=Ax+B$

求解斜渐近线步骤1. 求A；2. 求B

作图

$x$的定义域$D$，是否有奇偶性
增减性，$f’(x)$
凹凸性，$f’’(x)$
渐近线
列表，画图

3.7 弧微分与曲率

弧微分

$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$

$L:y=f(x)$，则$ds=\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx$
$L:\left\{\begin{aligned}
x=\phi(t) \\
y=\psi(t) \\
\end{aligned}\right.$，则$ds=\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt$

曲率与曲率半径

曲率$K=|\frac{y’’}{(1+y^{‘2})^{\frac{3}{2}}}|$
曲率半径$r=\frac{1}{K}$

第七讲零点问题与微分不等式

零点问题

大题/小题：零点定理证存在性、单调性证唯一性
小题：罗尔原话、实系数奇次方程至少有一个实数根

零点定理（主要用于证明根的存在性

$f(x)$在$[a,b]$内连续，且$f(a)f(b)<0$，则$f(x)=0$在$[a,b]$内至少有一个根
可以推广到区间端点a右极限和b左极限的情况

单调性（主要用于证明根的唯一性

若$f(x)$在$[a,b]$内单调，则$f(x)=0$在$(a,b)$内至多只有一个根

罗尔原话（罗尔定理的推论

若$f^{(n)}(x)=0$最多有$k$个根，则$f(x)=0$最多有$k+n$个根

实系数奇次方程至少有一个实数根

$f(x)=x^{2n+1}+a_1x^{2n}+…+a_{2n+1}=0$必定有一个实数根

微分不等式

函数性态证明不等式
常数变量化证明不等式
中值定理证明不等式

常用泰勒展开

3.1 微分中值定理

引理

涉及函数的中值定理

涉及微分的中值定理

费马定理

达布定理（导数零点定理

罗尔定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

3.2 洛必达法则

$\frac{0}{0}$

$\frac{\infty}{\infty}$

3.3 泰勒公式

常用

计算

3.4 函数单调性与曲线凹凸性

函数单调性

曲线凹凸性

判别方法

3.5 极值和最值

极值：极大值和极小值(要求双侧定义)

判别方法

法1（第一充分条件

法二（第二充分条件

第三充分条件

最值（最大值和最小值

3.6 函数图像描绘

渐近线

水平渐近线

铅直渐近线

斜渐近线

作图

3.7 弧微分与曲率

弧微分

曲率与曲率半径

第七讲 零点问题与微分不等式

零点问题

零点定理（主要用于证明根的存在性

单调性（主要用于证明根的唯一性

罗尔原话（罗尔定理的推论

实系数奇次方程至少有一个实数根

微分不等式

第七讲零点问题与微分不等式